Mastermind et Super Mastermind

Quelques notions de mathématiques autour de ce jeu.
Par Pierre ABDEL-AHAD - geniuspierre@yahoo.com

Le produit cartésien :
Dans le jeu "Super Mastermind Deluxe", nous avons présenté 5 modes de jeu qui peuvent se jouer à 3 niveaux différents. Donc, on pourrait faire plusieurs choix de jeu. Soit les 2 ensembles: M={1,2,3,4,5} (les modes) et N={n,e,c} (les niveaux). Le produit cartésien de ces 2 ensembles noté M X N (qui se lit M croix N), sera l’ensemble M X N={(1,n), (2,n), (3,n), (4,n), (5,n), (1,p), (2,p), (3,p), (4,p), (5,p), (1,c), (2,c), (3,c), (4,c), (5,c)}. Le nombre total des éléments de M X N est égal au nombre total des éléments de M multiplié par le nombre total des éléments de N. On note tout cela par:

Card(M X N) =Card(M)*Card(N)
  =5*3
  =15 choix de jeux différents.

Les p-listes :
Au niveau "Commando", toutes les combinaisons sont possibles: pions identiques, avec ou sans trous. Considérons le premier mode du jeu: 4 trous / 6 couleurs: chaque trou peut être occupé par les 6 couleurs, ou bien rester vide; donc il y aura 7 possibilités pour chaque trou. Ainsi nous formons des 4-listes (par exemple: rouge vide rouge jaune). Et le nombre total de ces 4-listes sera: 7^4(7 est le nombre des possibilités)=7*7*7*7=2401 combinaisons possibles. Au niveau "Expert", où l’ordinateur s’autorise une combinaison avec 2 (voir plus) pions identiques, mais sans trou, le nombre total des 4-listes sera: 6^4=6*6*6*6=1296 combinaisons.

Les arrangements :
Au niveau "normal", l’ordinateur s’interdit les doublons et les trous dans la combinaison. Par contre, les 4 ou 6 couleurs peuvent être permutés. Pour le mode : 4 trous/6 couleurs, on pourra former :

A
4=6!/(6-4)!=(6*5*4*3*2*1)/(2*1)=360 combinaisons
6 

Les combinaisons :
Soit un niveau (qui n’existe pas dans le jeu, mais qui pourra nous servir), où on devrait trouver seulement les couleurs, sans la place qu’elles occupent (en d’autres termes, on n’aura plus besoin de petits pions noirs, les blancs suffisent pour nous renseigner si la couleur existe ou pas). Considérons toujours le mode : 4 trous/6 couleurs, on pourra seulement former :

C
4=(6 !/4 !)/(6-4) !=(6*5*4*3*2*1/4*3*2*1)/2*1=15 combinaisons
6

Les permutations :
On a déjà parlé que dans le niveau normal, les 4 ou 6 couleurs qui forment une combinaison peuvent être permutées.
Par exemple, si on a la combinaison 1 2 3 4, on pourra permuter ces nombres de différentes manières :
1234 1243 1324 1342 1423 1432 2134 2143 2314 2341 2413 2431 3124 3142 3214 3241 3412 3421 4123 4132 4213 4231 4312 4321

En effet le nombre de permutations pour 4 éléments P4=4 !=4*3*2*1=24

On déduit par ce qui précède que le nombre d’arrangements est égal au nombre de combinaisons multiplié par le nombre de permutations :A=C*P

Tableau récapitulatif :
Pour vous donner une idée, un tableau a été dressé, indiquant les combinaisons possibles pour chaque mode.

Trous

Couleurs

Normal

Expert

Commando

4

6

360

1296

2401

4

8

1680

4096

6561

6

8

20160

262144

531441

6

10

151200

1000000

1771561

6

12

665280

2985984

4826809

Vous pouvez également télécharger une feuille de calcul Excel qui vous permettra de calculer le nombre de combinaisons possibles pour un nombre quelconque de couleurs et de trous suivant les trois modes : Normal, expert et commando.
Mastermind.xls